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微分方程建立后，就可对其求解，得出输出量的运动规律，从而对系统进行分析与研究。但微分方程求解繁琐，且从其本身很难分析系统的动态特性，但若对微分方程进行拉氏变换，即得到代数方程，使求解简化，又便于分析研究系统的动态特性，更直观地表示出系统中各变量间的相互关系。

传递函数就是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。

1、传递函数的基本定义：

线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

零初始条件：

t<0时，输入量及其各阶导数均为0；

  输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也均为0；

传递函数的一般形式：

设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

式中，nm，当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：

此式表示了输入到输出之间信息的传递关系，称G(s)为系统的传递函数。

传递函数的主要特点有：

a: 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。

b: G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。

C: G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

d: 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定，可有可无。

e: 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。

f: 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该

传递函数的几点说明

※ 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；

※ 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数；

※ 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；

※ 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。

※ 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。

2、传递函数的零点和极点

p_i称为G(s)的极点，z_i称为G(s)的零点。

3、典型环节的传递函数

环节：

具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。

任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成，控制系统中常用的典型环节有：

比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。

1、比例环节（放大环节）：

输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。

其运动方程为：x_o(t)=Kx_i(t)   拉氏变换为：X_o(s)=KX_i(s)

x_o(t)、x_i(t)—分别为环节的输出和输入量；

K—比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量与输入量之比。

比例环节的传递函数为：

例:求图示一齿轮传动副的传递函数,  分别为输入轴及输出轴转速,Z₁和Z₂为齿轮齿数,(当齿轮副无传动间隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状态).

因为：

其拉换变换：

2、惯性环节（非周期环节）

此环节与比例环节相比，不能立即复现输出，而需要一定的时间。说此环节具有“惯性”，这是因为其中含有储能元件K与阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。

3、微分环节

这是因为当输入量为阶跃函数时，输出在理论上将是一个幅值为无穷大而时间宽度为0的脉冲。这实际上是不可能的。因此微分环节必须与其它环节同时存在。

例：图示为一电网络系统：

4、积分环节

例：图示为一电网络系统，其中i为输入，u为输出，则

5、振荡环节

是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，其运动方程为：

6、延迟环节（也称传输滞后环节）：

其输出滞后输入时间τ，但不失真地反映输入，延迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。

延迟环节与惯性环节的区别：

※ 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；

※ 延迟环节从输入开始之初，在0 ~ τ时间内,没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。

例：图示带钢轧制过程