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反馈系统的根轨迹

    基于系统稳定的充要条件,反馈系统的稳定性由其闭环极点唯一确定。反馈系统的闭环极点就是该系统特征方程的根。一般来说,当特征方程的阶数较高时,求根过程是很复杂的,特别是在系统参数变化情况下求根,更是需要进行大量的运算,而且还不宜直观看出参数变化对系统闭环极点分布的影响。对此,伊凡思(W.R.Evans)提出了一种图解反馈系统特征方程的工程方法,该法称为根轨迹法。

反馈系统根轨迹的有关概念

 根轨迹法是在已知反馈系统的开环极点与零点分布基础上,通过系统参数变化图解特征方程,即根据参数变化研究系统闭环极点分布的一种图解法。

 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷时,闭环特征根在复平面[s]上变化的轨迹。

 用于绘制反馈系统根轨迹的方程式称为根轨迹方程,它与闭环特征方程在本质上是同一个方程。

根轨迹方程

    设反馈系统的特征方程为

                              

式中是反馈系统前向通道的传递函数;是反馈系统反馈通道的传递函数;是反馈系统的开环传递函数;对应负反馈系统;对应正反馈系统。则为绘制负反馈系统的根轨迹方程,为绘制正反馈系统的根轨迹方程。

    应用上述根轨迹方程绘制反馈系统根轨迹前,还需将开环传递函数如下标准形式

               

式中为绘制根轨迹的可变参数,称参变量或根轨迹增益,取值范围为.为系统的开环极点。为系统的开环零点。

绘制根轨迹的条件

    由负反馈系统根轨迹方程可得

            

 即为绘制负反馈系统根轨迹的幅值条件;则构成绘制负反馈系统根轨迹的相角条件,负反馈系统的根轨迹又称作180°根轨迹或常规根轨迹。

    由正反馈系统的根轨迹方程得

            

即为绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件, 则是绘制正反馈系统根轨迹的相角条件。正反馈系统的根轨迹又称作0°根轨迹。

    由上可知,180°根轨迹和0°根轨迹的幅值条件相同,而相角条件是有别的。

幅值、相角的计算

设系统开环传递函数具有标准形式,则

                            

                            

上面两个等式分别为幅值、相角的计算公式。

 两点说明

1、绘制反馈系统的根轨迹(包括180°根轨迹和0°根轨迹)只须依据相角条件,而幅值条件则用于计算根轨迹上某确定点对应的参变量值

2、参变量并非一定为系统的开环增益,如参变量为系统开环增益或与之成比例,则此类根轨迹称为一般根轨迹;如参变量为开环系统某环节的时间常数,或系统时滞等,则此类根轨迹为参变量根轨迹。

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