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对于一个线性时不变离散系统，描述输出y[n]和输入x[n]之间关系的线性常系数差分方程一般具有以下形式

两边取傅里叶变换有：

系统的频率响应为：

需要注意的是，当系统形式用上式的差分方程描述时，系统可以有初始状态为零或不为零两种情形，这一点在差分方程中未得到反映。由于用傅里叶变换求解系统响应是以系统的正弦响应为基础，这一点对离散时间系统也不例外，所以按照上述过程求得的y[n]，只是系统的零状态响应，如果系统的初始状态不为零，则需补充零输入响应，才能得到系统的全响应。

已知一线性时不变系统，其初始状态是静止的，且由下列差分方程描述

求：（1）系统的频率响应；

（2）系统的单位冲激响应；

（3）输入为时对应的输出响应y[n]。

分析：（1）由式(4-6-3)得：

（2）为了求系统的单位冲激响应，首先将的分母进行因式分解并按部分分式展开：