Z变换的基本性质
时间:2017-04-26 10:58 来源:自动控制网
利用常用信号Z变换对和Z变换的性质，可以求解复杂信号的Z变换和反变换。总之，掌握Z变换的性质，可以从性质的基本形式、应用该性质的基本思路及应用中应该注意的问题三个方面来掌握。 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有:
那么对于任意常数a、b，Z变换都能满足以下等式：
通常两序列和的Z变换的收敛域为两个相加序列的收敛域的公共区域：
如果线性组合中某些零点与极点互相抵消， 则收敛域可能扩大。 2. 序列的移位
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证：
3. 乘以指数序列（Z域尺度变换）
证：
4. X(z)的微分
证：
5. 复序列的共轭
证：
6. 翻褶序列
证：
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，即x(n)=0, n<0, 有 证：
8. 终值定理
设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位圆内，则 证：利用序列的移位性质可得
再利用x(n)为因果序列可得
分析一下(z-1)X(z)的收敛域。由于X(z)在单位圆上只有在z=1 处可能有一阶极点，函数(z-1)X(z)将抵消掉这个z=1处的可能极点，因此(z-1)X(z)的收敛域将包括单位圆，即在1≤|z|≤∞上都收敛，所以可以取z→1 的极限,
9. 序列卷积（卷积定理）
若
则 在线性时不变系统中，如果输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，则输出y(n)是x(n)与h(n)的卷积; 利用卷积定理， 通过求出X(z)和H(z)，然后求出乘积X(z)H(z)的Z反变换，从而可得y(n)。这个定理得到广泛应用。 10. 序列乘积（复卷积定理）
若
则 |
交换求和与求导的次序，则得
式中，符号“*”表示取共轭复数
