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    1. 运动稳定性的基本概念

    为了建立稳定概念，先来看一个直观的例子。

    图 3-23( a ) 是一个单摆示意图。假设外界附加一扰动使该系统单摆由原平衡点“ a ”偏离到点“ b ”。当外力去掉后，摆在重力作用下，由点“ b ”回到点“ a ”，并由于惯性作用，继续向前摆动，直到到达点“ c ”。随后，在阻尼作用下，摆围绕“ a ”点作衰减振荡，直到所有能量耗尽，摆最终停留在原平衡点“ a ”。就平衡点“ a ”而言，在干扰作用下，摆发生了偏离，但扰动消失后，经过一定的时间，摆能恢复到原来的平衡点。这样的平衡点“ a ”称为稳定的平衡点。

    如果让摆处于另一平衡点“ d ”，如图 3-23 （ b ）所示。显然在扰动作用下，摆会离开平衡点“ d ”，这时，即使扰动消失，无论经过多长时间，摆也不会回到原平衡点“ d ”。这种平衡点称为不稳定平衡点。

    单摆的这种稳定概念（即无论扰动产生的初始偏差多大，只要扰动消失，系统最终总能回到原平衡点），可以推广至线性系统。而对于用非线性微分方程描述的非线性系统，当扰动产生的初始偏差较小时，扰动消失后，系统可能能回到某一稳定的平衡点；但当扰动造成的初始偏差超过一定范围，即使扰动消失，无论经过多长时间，系统也未必能回到原来稳定的平衡点上。也就是说，线性系统的小范围稳定和大范围稳定是等价的；而非线性系统则不然。小范围稳定的非线性系统不一定大范围稳定。

    2. 运动稳定性的定义

    运动稳定性的严格数学定义，首先由俄罗斯学者李雅普诺夫于 1892 年建立，一直沿用至今。有关李雅普诺夫稳定性的数学定义及稳定性定理，将在与本书配套的《现代控制理论》中介绍。本节只根据李雅普诺夫稳定性理论，从系统的输入输出关系出发，分析线性系统的稳定性问题。