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一、系统误差与偏差的关系

　　设是控制系统的理想输出，是其实际输出，则误差定义为

　　在如图1所示的闭环系统中，系统误差的Laplace变换与系统偏差的Laplace变换之间具有如下关系：

（1）

图1

　　显然，控制系统的误差和偏差是既有区别，又有联系的。系统偏差与系统误差在一般的情况下不相等。只有当系统是单位反馈系统时，系统的偏差与误差才会相同。

二、系统的稳态误差与稳态偏差

　　系统过渡过程结束后，系统实际输出量与系统希望的输出量之间的偏差称为稳态误差。它是系统稳态性能的测度，反映了系统响应的准确性。

　　同样地，可以定义稳态偏差

三、与输入和系统结构有关的稳态偏差

图2

　　现分析如图3.6.2所示系统的稳态偏差。

　　因

　　由终值定理的系统的稳态偏差为：

　　。

　　即 。

　　很显然，系统的稳态偏差不仅与系统的结构、参数有关，而且与系统的输入的特性有关。为简化稳态偏差的计算，定义

　　位置无偏系数

　　速度无偏系数

　　加速度无偏系数

　　则：

　　（1）当系统的输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差为　

　　（2）当系统的输入为单位斜坡信号时，系统的稳态偏差为　

　　（3）当系统的输入为单位加速度信号时，系统的稳态偏差为　

　　设系统的开环传递函数为　，

　　其中，为系统的型次；当分别为0、1、2、…，时，分别称系统为O型系统、I型系统、II型系统等等。显然，位置无偏系数、速度无偏系数和加速度无偏系数与系统的型次和开环增益有关。系统开环的型次以及输入信号形式同误差系数和系统稳态偏差之间的关系见表1。

表1　不同型次系统的误差系数及其在不同输入时的稳态偏差

系统的开环	误差系数	不同输入时的稳态偏差
	位置无偏系数	速度无偏系数	加速度无偏系数	单位阶跃输入	单位恒速输入	单位恒加速度输入
О型系统		0	0
Ⅰ型系统			0	0
Ⅱ型系统				0	0

　　　　从表1中可以看出，同一系统在不同的输入作用下，其稳态偏差是不同的。更有意义的是，针对同一种输入，当系统的型次增加时，系统的准确性将得到提高；增加系统的开环增益，往往也可以提高系统的稳态精度。但是，正如第五章将要讨论的那样，系统型次和开环增益的增加，却使得系统的稳定性变差。因此，通常需要在系统的稳定性和准确性之间进行权衡，必要时，需要引入校正环节进行校正。

　　四、系统存在干扰作用时误差和偏差

　　若系统有干扰作用，其方框图如图3所示。可以求得

　　

　　　　　　　（3.6.2）

　　式中，；；

　　；。

图.3

　　因此，系统的误差包括两部分，一部分与系统的结构、参数和输入信号有关，另一部分为系统在干扰单独作用下产生的输出。

　　在输入和干扰共同作用下的偏差为

　　 （3）

　　由式（2）、（3）及终值定理可得在输入和与干扰共同作用下，系统的稳态误差和稳态偏差。

　　五、任意输入时，稳态误差的求法

　　（1）求系统偏差的Laplace变换。

　　（2）对于单位反馈系统，稳态误差等于稳态偏差。

　　（3）对于非单位反馈系统，可根据式（3.6.1）将误差的Laplace变换换算为偏差Laplace变换的表达式。

　　（4）根据终值定理，即可求得系统的稳态误差。

　　当然，系统的稳态误差还可以通过求出系统的时间响应，进而求出系统的误差函数的稳态值的方法求得。