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一、辅助函数及其与开环、闭环传递函数零点和极点的关系

　　如图1所示的闭环系统，其闭环传递函数为

　　；　　　　　　　（5.3.1）

　　开环传递函数为：

　　；

　　令，（5.3.2）

图.1

　　则、、三者的零点和极点之间存在如下关系：

　　的零点与的极点重合；的极点与的极点重合。

　　因此，系统稳定的充要条件由原来的的全部极点均位于s平面的左半平面内，变成为的全部零点均位于s平面的左半平面内，或在s平面的右半平面内无零点。

二、幅角原理

　　设函数在s平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数。并设s平面上解析点s映射到平面上为点，或为原点指向此映射点的向量。若在s平面上任意选定一封闭曲线，只要此曲线不经过的奇点，就可将s平面上的封闭曲线映射到平面上去，结果也是一条封闭曲线，记为。当解析点s按顺时针方向沿变化一周时，向量将按顺时针方向旋转周，即曲线顺时针包围原点次。若令：为包围于内函数的零点数；为包围于内函数的极点数，则存在

　　　　　　　　　（5.3.3）

　　其中，>0,表示顺时针包围原点次；

　　<0,表示逆时针包围原点N次；

　　=0,表示不包围原点。

　　根据式（5.3.3）有：。其中，为顺时针包围原点的次数；为包围于的极点数，亦即为包围于的极点数；为包围于内的函数的零点数，亦即为包围于的极点数。

三、s平面封闭曲线的选取

　　要想判定系统是否稳定，只需合理选择s平面封闭曲线，判定该封闭曲线内是否包围的零点即可。根据系统稳定的条件，若选取封闭曲线，使其顺时针包围整个s平面的右半平面，此时，若=0，则系统稳定；反之，系统不稳定。因此，封闭曲线可以这样由以下两段组成：①整个虚轴（即从变化到），②以原点为圆心，无穷大为半径的半圆弧。

四、F（s）、Gk（s）轨迹的关系

　　由式（5.3.2）有：=-1

　　 即有的轨迹实质上是轨迹在实轴方向上左移一个单位得到的。因此，绕原点旋转的圈数实质上是绕旋转的圈数。这样一来，可以用的轨迹绕旋转的圈数代替的轨迹绕原点旋转的圈数。

五、Gk（s）轨迹

　　轨迹由两部分组成：

　　一部分是s沿着整个虚轴移动，即且从变化到时的轨迹。此时，的轨迹就是的轨迹，且从变化到。

　　另一部分是s沿着无穷大半圆的圆弧顺时针运动，此时，的轨迹为原点或某一定点。而这点显然不会影响整个的轨迹顺时针包围点的圈数。因此，可以不予表示。

　　因此，的轨迹可以简单地认为就是在从变化到时的轨迹。可以证明，在从变化到时的轨迹与在从变化到时的轨迹是关于实轴对称的，因此，作出在从变化到时的轨迹后，就可以得到在从变化到时的轨迹。

　　在作在从变化到时的轨迹时，要注意当系统开环存在积分环节时，在从变化到时的轨迹就会出现间断点。若型开环系统属于最小相位系统，间断点处的轨迹可以通过以下法则连接：当s沿着小半圆从变化到时，轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从转到。

六、Nyquist判据

　　设位于s平面的右半平面的极点数为，的轨迹（从变化到）顺时针包围的圈数为，则系统稳定的充要条件是：。

　　判据可以根据系统开环频率特性的图，判定闭环系统的稳定性。事实上，其作用还在于应用该判据能很容易分析系统的结构与参数对系统稳定性的影响。

　　在利用判据判定系统的稳定性时，要注意、、的具体含义。