伯努利方程_自动控制网

（1）理想液体的伯努利方程

假设液体为理想液体，并且作恒定流动。如图所示，在理想液体恒定流动中，取一段微小流束ab，a处断面面积为dA1，所受的压力为pl，流速为u1；b处断面面积为dA2，所受的压力为p2，流速为u2。设时间dt内，a断面处的液体质点到达a'处，b断面上的液体质点则到达b'位置。

表面力所做的功：

　　（1）

根据液体的连续性原理

　　（2）

式中dq——流过微小流束a、b断面的流量。

重力所做的功：：

　　（3）

动能的变化：时间dt内，a'b段流束的液体由于各点运动参数(p、u)都没有发生变化，故动能的变化应等于aa'段和bb'段两段微小流束的动能差。即

　　（4）

根据力学中的动能定律，外力对液体所作的功应等于这段流束的动能的增量，于是

　　（5）

以液体的重量ρgdqdt除上式并整理得到微小流束的伯努利方程：

　　（6）

因为a、b　断面是任意选取的，所以伯努利方程说明了在同一流束上，所有各点的数值

之和为常数。

实际液体的运动中，液体将呈现出粘性即产生内摩擦力，因此将造成能量损失。设h'w表示单位重量液体微小流束的能量损失(称阻力水头)，于是可得实际液体微小流束的伯努利

方程为

　　（7）

（2）实际液体总流的伯努利方程

为了将微小流束的伯努利方程推广到总流，可将液体在通流截面上的流动局限于缓变流动(即微小流束或流线间的夹角及流束的曲率都非常小)的范畴，这时将微小流束扩大，由流

束外层的流线所组成的流管即可认为是真实圆管。由于实际流速u在通流截面上是个变量，

若用平均流速υ来代替实际流速u，则式中的动能就要引起偏差，所以需要引入动能修正系

数。于是得到实际液体总流的伯努利方程为

　　（8）

式中hw——能量损失；

αl、α2：——动能修正系数，一般在紊流时取α=1，层流时取α=2。

最后还要指出，在应用伯努利方程时，必须把计算断面选取在缓变流动上，但两断面间

的流动并不必为缓变流动。