自动控制网移动版

傅里叶在把傅里叶级数推广到傅里叶积分的研究是基于如下的思想：把非周期函数看作一个周期函数在周期趋于无穷大时的极限。

一、以方波为例说明从傅里叶级数到傅里叶变换

我们仍然从前面例所研究过的连续时间周期方波的傅里叶级数表示入手。即，在一个周期内

以周期T重复，如图1所示。

在例3.5中已求出，该方波信号的傅里叶级数系数ak是

下图2展示出某个固定T1值和几个不同的T值时，这些系数的条状图。

从上图可以看出，随着T增加，系数间的间隔愈来愈密集。当T变得任意大时，原来的周期方波就趋近于一个非周期性的单脉冲信号。所以，可以把非周期信号看成是周期趋于无限大的周期信号。

（一）对非周期信号进行周期延拓

我们来考虑如图-3所示信号x(t)，该信号的持续时间为|t|<T1。我们对该信号进行周期延拓，构成一个周期信号，使x(t)就是的一个周期。当时，对任意有限时间而言，就等于x(t)。

上述周期信号的傅里叶级数为：

对非周期信号x(t)，当：

再定义为,则傅里叶级数的分析公式演变为：

这就是傅里叶变换式。

再看傅里叶级数综合公式的演变：

即

一个非周期信号x(t)的变换通常称为的频谱，因为告诉我们将x(t)表示为不同频率正弦信号的线性组合所需要的信息。