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1.离线学习控制系统的稳定性和收敛性分析
    图1给出一个CMAC离线学习控制系统的结构。该装置的控制输入u由两个分量组成:

                                   (1)

图1  CMAC离线学习控制系统

    定理1    存在一个反馈控制:

                  (2)

使得系统的状态误差边界为:

                 (3)

式中,。

    定理2    设和为有界函数:

                            (4)

且定理1中的反馈增益满足下列不等式:

                          (5)

规定:

               (6)

式中,使该系统收敛:

                                 (7)

                                 (8)

2.在线学习控制系统的稳定性与收敛性分析

自适应过程的定义
    定义3    控制系统在每个采样期内实时地训练神经网络的过程,称为自适应过程。

学习过程的定义
    定义4   控制系统在积累了一系列样本之后离线地训练神经网络的过程,称为学习过程。
图2表示一个基于CMAC的在线学习控制系统的框图,该系统具有从系统输出的反馈作用。

图2 基于CMAC的在线学习控制系统

CMAC中神经网络的收敛性
    定理5  基于CMAC神经网络的在线学习控制用于一类仿射非线性系统

                              (9)

                        (10)

    如果系统满足下列条件:
    (1) 可逆;
    (2) 理想状态和是严格混合和平稳随机过程;
    (3) PD控制保证系统全局渐进稳定;
    (4) 正定。
那么,CMAC神经网络算法收敛,即:

                                   (11)