非线性方程的线性化

几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性的。但对于较小的范围内的运动，把这些元件看作是线性元件，因此可以建立线性微分方程。线性微分方程，满足迭加原理和齐次性。

研究非线性系统在某一工作点（平衡点）附近的性能，（如图2-2，x0为平衡点，受到扰动后，x(t)偏离x 0，产生Δx(t)，Δx(t)的变化过程，表征系统在x0附近的性能）

可用下述的线性化方法得到的线性模型代替非线性模型来描述系统：

设连续变化的非线性函数为y = f(x)。取某平衡状态A为工作点，即y0=f(x0) 。当x=x0+Δx 时，y=y0+Δy ，设函数f(x)在(x0,y0) 连续可微，则在该点附近用泰勒级数展开为：

当(x-x0) 很小时，略去高次幂相，则

则略去增量符号，可得到在工作点附近的线性化方程

例2-3，设铁芯线圈电路如图2-4所示，其磁通与线圈中电流之间的关系如图2-5所示，试写出以为输入，为输出的微分方程。

解（1）设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为：
（2.7）

（2）电路微分方程为：

设在平衡点的邻域内， j 对i的各阶导数（直至n+1）是存在的，它可展成泰勒级数：

（2.8）

其中：Δi =i - i 0

当Δi 足够小时，略去高阶导数

式中，令

略去增量符号，得

（2.10）

将式(2.10)代入式（2.7），则把原来非线性数学模型，转化成常系数线性数学模型：

在线性化过程中，只考虑泰勒级数中的一次偏量，故式(2.10)又称为一次线性化方程式。

总结：要建立整个系统的线性化微分方程式，首先确定系统处于平衡状态时，各元件的工作点；然后列出各元件在工作点附近的偏量方程式，消去中间变量；最后得到整个系统以偏量表示的线性化方程式。