闭环系统零、极点位置对时间响应性能的影响,可总结如下:
1、稳定性。
如果闭环极点全部位于s左半平面,则系统一定是稳定的,即稳定只与闭环极点位置有关,而与闭环零点位置无关。
2、运动形式。
如果闭环系统无零点,且闭环极点均为实数极点,则时间响应一定是单调的;
如果闭环极点均为复数极点,则时间响应一般是振荡的。
3、超调量。
超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率
并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。
4、调节时间。
调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实数绝对值σ1=ξωn,如果实数极点距虚轴最近,并且它附近没有实数零点,则调节时间主要取决于该实数极点的模值。
5、实数零、极点影响。
零点减小系统阻尼,使峰值时间提前,超调量增大;极点增加系统阻尼,使峰值时间滞后,超调量减小。它们的作用,随着其本身接近坐标原点的程度而加强。
6、偶极子及其处理。
如果零、极点之间的距离比它们本身模值小一个数量级,则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子,其影响可略;接近原点的偶极子,其影响必须考虑。
7、主导极点。
在s平面上,最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点,对系统性能影响最大,称为主导极点,凡比主导极点的实部大6倍以上的其他闭环零、极点,其影响均可忽略。
例题(1)
例1:某单位反馈系统的开环传递函数为:
要求:
(1)绘制系统的根轨迹草图;
(2)用根轨迹法确定使系统稳定的Kg值范围;
(3)用根轨迹法确定使系统的阶跃响应不出现超调的Kg最大取值。
解 : (1)闭环系统特征方程为
系统根轨迹如下图
(2)由(1)中的计算结果可知,Kg稳定范围为0.2<kg<0.75
(3)依题意,也就是要求分离点d=-0.4094处的Kg值:
用模值条件解得
例2:单位负反馈系统的开环传递函数为
画出K从0->∞变化时闭环系统的根轨迹,并确定闭环系统稳定时的K值取值范围。
解:开环传函变为如下形式
例题(2)
系统根轨迹如下图
例题(3)
例3:已知单位反馈系统的开环传递函数为
画出的根轨迹如下图
例题(4)
例4 已知单位反馈系统的开环传函为
该系统在K取任何正值时均不稳定,利用根轨迹图,说明在负实轴加一合适的开环零点-a可使系统稳定。
解:原系统的根轨迹如图(a)所示,系统不稳定。
若增加开环零点-a,系统开环传函变为
则渐进线与实轴的夹角
渐近线与实轴的交点
由渐进线与实轴的交点可知,当a>1时,交点在s右半平面,系统仍不稳定。
当a<1时,交点在s左半平面,可使原系统稳定,相应的根轨迹图见上一张图(b)、(c)所示。
该例说明,适当增加开环零点,可改善系统的稳定性。
例5 设单位反馈系统的开环传递函数为
(1)画出T变化时闭环系统的根轨迹;
(2)求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的T值;
(3)求出当T=20时,闭环系统的单位阶跃响应。
解: (1)系统的特征方程为 |